avangard-pressa.ru

Белгілеп, Енді к≥1 және |z|≥1Тең емес екенін орындалады |z|k≥|z| және - Математика

3)

4) Нақты (1)-(3) аламыз. ||

Онай қарасақ

5)

Сосын, бар

6) 1/n

Нақты (4)-(6) анықтасақ

| 1/2

Полинама модулінің үзіліссіздігі.

f-полинамасы z-тен кешенді сандардың өрісіне дейін. Көрініс көптікте анықталған С барлық кешенді сандар кешенді фуннкцияалардың ауыстырымдары бар. Біз оны полином моделі дейміз fжәне символмен белгіленеді. |f|

Теорема.1,2f-C[z]-ғы кез-келген полином болсын полиномның модулі С жиынында үзіліссіз функция болады.

Дәлелдеуі:Көрсетсек, кейбір оң сандар Е табылады осындай оң кейбір кешенді сандар z,егер |z-a|< онда ||f(z)-|f(a)|

Теорема 1,3 анық,дұрыс егер полином f нөльдік және нөльдік дәрежесі болады.Полиномда f оң дәрежесі n бар

Жатқызсақ f дәрежесімен айырымы z-a:

f(z)=c0+c1(z-a)+…+cn(z-a)n (cn 0)

Қаншалықты f(a)=c0 онда f(a)=c0, то

f(z)-f(a=c1(z-a)+…+cn(z-a)n

Және 4,7,8 теорема бойынша тең емес екендігін аламыз.

1. |f(z)-f(a)|

Қойамыз: b=max cn

Осымен Cn

2. |z-a|k

Байланысты (1) және (2) бар

|f(z)-f(a)|

Осыған қарай, кез келген E>0

nb|z-a|

Әр сандарда Е сәйкесінше оң сандарды қойсақ

Сосын, кезкелген Е>0, кейбір z-тен С-ға

Теорема:f-C[z] –ғы полимон болсын Егер тізбекшесі а кешен санына сәйкес келсеб онда <|f(Zn)|> тізбекшесі |f(a)|-ға сәйкес келеді.

Дәлелдеуі: Теорема 1,2

1. (

Шарт бойынша, біртіндепжинақталатын санға а сосын кез келген n0 натуралды сандар бар|zn-a|n0-ға

Осыдан (1) ары қарай

Осы бейнеден, біртіндеп <|f(Zn)|> жинақталған санға |f(a|)

Полином моделінің ең кіші мәні:

Төмен қарай атақты анализдіңБольцано-Вейрштрасса тоеремасы керек: кей ақырсыз біртіндеп нүктелі дөңгелек|z|≤r r-( фиксированды оң нақты сан) қолданады келесімі, кейбір жинақты нүктелік дөңглекте

Теорема 1,4, f-C[x] полином болсын r –оң нақты сан және m=inf|f(z)| онда |f(a)|=m және |a|≤r болатындай а кешен саны бар.

Дәлелдеуі:біртіндеп оң нақты сан жинақты ноьлге

Осымен m=inf |f(z)| онда әрбір мүше En біртіндеп Zn, ,бар болуы

m

Сондықтан біртінде <|f(zn)|> жинақталады m-ге:

(1) Барлық элемент біртіндеп дөңгелекте орналасқан |z| Б-В теорема бойынша, бұл біртіндеп келесіге жалғасады жинақталған кейбір нүктелі а дөңгелегі |z|≤r

Теорема бойынша 1,3 3-ден келесі

Осымен |f( келесіден келесіге біртіндеп|a( жинақталады m-ге онда,

Негізінен (3), (4) және (5) аяақтаймыз |f(a)|=m және |a|≤r

Теорема 1,5 Кез келген полином модулі f осы C(z) өзінің ең кіші мәніне көктікте С жетеді

Дәлелдеуі Теорема , анығында дұрыс, егер deg f=0 немесе f(0)=0 Сондықтан ойлансақ degf≥1 және f(0)≠0 Осыдан M=|f(0)| Теорема 1,1 бойынша.

Болса

Анықталады а саны осылай.

|f(a)|≤|f(z) егер |z|≤r

(2) Және (4) бар ( осы бейнеден |f| C ең кіші мәні нүктелі а жетеді.

Даламбера леммасы. Дәлелдеуі теорема 1,7 мәнді өлшемді негізінде келесі леммада, ол Даламбер леммасы дейміз.

Лемма 1,6 кешен сандар өрісінде берілген оң дәрежелі полимон Егер f(a)≠0 болса, |f(c)|<|f(a)| болатындай С кеншен саны бар.

Дәлелдеуі. F(x)=a0+…+anxn көпмүшелік дәрежесі n>0 және f(a) Қарастырсақ f дәрежелі айырымы бойынша х-а:

1) nқайда с1

Қарастырсақ z=x-a және

Cm-нөльдік емес коэффициент полиномы g ең кіші оң индексімен (0

Анықтасақ h(z)

H(z)=

0 егер m=n

Онда теңдік былай жазуға болады

(1) кез келген түбірді d-арқылы белгілейміз m дәрежелі саннан (-c0/cm)

Dm=-c0/cm.

Қарастырсақ (5) Z мәнінде

(5) және (6) теңсіздігін аламыз

Негізінде (4) аяақтаймыз:

- 1

Осыдан аламыз.

9) -1 егер m

B={

0. Егер m=n.

Белгімен енді n0, қаншалықты Сn және d нөлдіктен өзгеше, осыдан (8) және (9) теңсіздік шығады

B].

0< }

|f(a+ { енді m

0< .

Виета формуласы:Түбірлер арасындағы арасындағы тәуелсіздікті анықтаймыз және полином коэффиценттің.

Теорема 1,11 (Виета)

c1=-(a1+a2+…+an);

c2=a1a2+a1a2+a1a3+…+an-1zn;

c3=-(a1a2a3+…+an-2an-1an);

…………………………..

Cn=(-1)na1a2…an

Дәуелдеуі. Осымен а1,,,аn- полином түбірі f, ондакелесі 1,9 бойынша

Zn+c1+zn-1+…+cn-1z+cn=(z-a1)(z-a2)…(z-an)

Көбейтсек сызықтық көптікте оң жақ теңссіздікпен , онда аламыз келесі теңдеуді.

zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn=zn-(a1+…+an)zn-1+…+(-1)na1a2…an.

осы теңсіздіктен екілік полином z-тен келесі теңсіздік коффиценті жалғыз дәрежелі z;теңдік коэффиценті жалғыз дәрежелі z , осыдан формула аламыз (1)

формулалар (1) Виета формуласы деп атлады.

Салдар1,12 егер a1…an- полином түбірі с0zn+c1zn-1+…+cn-1+cn дәрежелі n С[z]-тен,

Онда; =-(a1+…+an);

=a1a2+a1a3+…+an-1an

……………………….

na1a2…an.